薛定谔方程是怎么被“猜”出来的?《张朝阳的物理课》讨论量子力学核心理论

问任何一个物理爱好者,什么是量子力学?他们很可能会提到“薛定谔的猫”。接下来呢?则可能是薛定谔方程。但是这个方程究竟是什么,为什么它如此重要,以至于任何一个量子物理学家都会把它记在脑海中?1月7日,在第十八期《张朝阳的物理课》上,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳在直播间再现薛定谔方程奇妙的发现过程,初步揭秘量子力学的核心理论。

在直播间里,张朝阳带领大家简单复习前两节课的要点,并重点回顾经典力学中描述粒子和波的方式。在经典物理中,力的作用导致粒子运动状态的改变,可以用牛顿第二定律来描述这个改变过程。粒子的运动状态由位置和速度来表征,力的作用会改变粒子的速度,从而改变其能量。而在量子力学中,粒子由波函数来描述。在此,张朝阳先向网友介绍了经典力学中对波的描述方式。以一维波为例,在经典力学中,波由相应的波动方程来描述:

它是向左传播和向右传播的波的叠加。以平面波为例,描述平面波的2个主要参数为圆频率ω=2πf和波数k=2π/λ。其中λ为波长,f为频率。

“我们努力地猜,当年薛定谔是怎么想到这个方程的?他看到德布罗意的论文之后,意识到电子应该用波来描述,于是把电磁波的想法转移过来,猜出了这个方程,最后居然是对的。”张朝阳像说故事一样引出今天的主题。

德布罗意提出物质波的时候只是给出了波长和动量的关系,但是并没有推导物质波如何演化。那么,薛定谔是如何猜出这个方程的呢?直播过程中,张朝阳做了详细生动的介绍。

这就是薛定谔猜测的物质波的平面波形式。出于简洁的需求,张朝阳先考虑了一维自由粒子的情况。其能量和动量满足如下关系:

它在量子力学下是否依然满足呢?薛定谔对此作出了勇敢的假设,认为这个关系在非相对论量子力学框架内依然成立。那怎样在波函数上体现出这个关系呢?这就需要先将物质平面波中的动量和能量“取”出来。

至此,张朝阳开始介绍求导得出动量和能量的方法。在平面波的式子中,动量和能量都出现在指数上,但是只要我们对位置x和时间t求偏导数,相应的动量和能量不就下来了吗?于是,张朝阳又展示了如下推导:

组合在一起就得到了有关这个平面波函数的方程。张朝阳强调,这个方程是线性偏微分方程,因此,它的各个解的线性组合,依然是原方程的解,这从形式上也符合量子力学的叠加原理。既然这个方程对平面波成立,而一般的波都可以看作是平面波的组合,那么这个方程对一般的自由物质波也成立。这就得到了一维自由粒子的波动方程:

此时,张朝阳顺势介绍,当存在外部势场时,能量将不仅包含粒子动能,还应当包含势能:

其中U(x,t)是势能函数。结合前面的推导,就得到了著名的一维薛定谔方程:

张朝阳介绍,薛定谔方程不是推导出来的,而是猜测出来的。它是非相对论量子力学的基本方程,具有公设性质。只有根据薛定谔方程计算出结果,与实验结果一致,我们才能说这个理论是对的。他还解释,薛定谔方程的左边是对时间的一次导数,而右边是对空间的二次导数,这一点很关键。且考虑到因子i的存在,波函数不像电磁场那样是实函数,而是复函数。

不过,即使薛定谔猜出了波动方程,也不知道这个波的物理意义是什么。张朝阳由此引入量子力学的哥本哈根诠释,也就是所谓的统计诠释。

张朝阳介绍,“波函数的模方,表示的是粒子出现在相应位置的概率密度,根据这个概率密度,我们只需要对特定区域积分,就可以得到在该区域上发现粒子的概率。当我们得到粒子的波函数时,我们并不知道粒子具体在哪,我们得到的信息仅仅是测量后粒子在各位置出现的概率。”他还进一步介绍波函数归一化的概念。具体地来说,因为整个空间上发现粒子的概率是1,于是波函数的模方在整个空间上的积分就等于1。

此外,张朝阳还提到矩阵力学和波动力学的关系,他说,“它们就像一座高山上的两条路径”。换言之,矩阵力学和波动力学都是描述量子力学的正确方法,是相互等价的。

张朝阳再次演示,在量子力学中,粒子的速度不再等于ω/k,而应该等于相应的波的群速度dω/dk。根据张朝阳的计算,ω/k实际上等于v/2,为粒子速度的一半。如果使用群速度dω/dk来计算,则得到了正确的速度v。他解释道,这是因为粒子在实际观测中以波包的形式存在,群速度是描述整个波包的移动速度的,因此正好对应于粒子的速度;而ω/k是等相位点的移动速度,不代表粒子的运动速度。

“我们今天理解了薛定谔是怎么猜到薛定谔方程的,也知道描述具有波粒二象性的微观粒子的波函数。后面,我们只要解这个方程,就能把天下所有事情给它算出来。”直播尾声,他回顾这一课的主要内容时说。同时他鼓励网友,量子力学很难懂,“会用很多堂课来讲。”据了解,下一讲他将开始解薛定谔方程,来解释氢的光谱,求一些波函数的定解,以及薛定谔方程的各种应用。

自11月5日至今,《张朝阳的物理课》已直播十八期。在第一、二课中,张朝阳科普了“力”和“速度”,算出马斯克的飞船和中国空间站每日绕地飞行圈数;第三、四课和“振动”相关,科普可见光的基本知识;第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论;在第七、八、九课重温经典力学的两朵乌云。

在第十、十一课中,他重点回顾黑体辐射曲线及其应用;第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界,推导出著名的公式“E=mc2”,并论证钟慢尺缩效应;第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变;第十六课意在讨论光的波粒二象性,初探量子力学;第十七课着重探讨了康普顿散射和海森堡不确定性原理;第十八课揭秘薛定谔方程和波函数。

从这十多期的物理课可以看出,《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣,再以公式推导的方式解释其背后的物理原理,“透过现象看本质”,进而反过来解决生活中的类似问题。

张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情,他希望物理课的受众能保有好奇心,“在好奇心驱使下,了解自然界的奥秘,了解我们在这个世界生存的道理”。在后续课程中,他还将继续以这种直播风格解释生活中常见的物理现象,让普通人能够听懂、专业人士也能认可,激发科学学习的热潮。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。

除《张朝阳的物理课》外,搜狐视频也邀请多位通识教育播主,科普知识,传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了“奇趣的科学实验”,走进“光的波粒二象性”;康奈尔大学物理化学博士包坤,化身“包大人玩科学”,教普通人看懂2021年诺贝尔奖;还有天体物理博士刘博洋科普“日全食是怎么产生的”等。未来,还将有更多知识播主入驻,一起玩转科学。

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